Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F、T、M、P滿足，，．
（Ⅰ）當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求證：直線TA、TF、TB的斜率依次成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)題意可推斷出M是線段FT的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)可推斷出，進(jìn)而利用，求得x，y和t的關(guān)系式；同時(shí)利用求得t和y的另一關(guān)系式，最后消去t即可求得x和y的關(guān)系．
（Ⅱ）設(shè)直線TA，TF，TB的斜率依次為k₁，k，k₂，并記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和2y₁y₂，進(jìn)而表示出y₁²+y₂²，進(jìn)而化簡k₁+k₂得2k，判斷出k₁，k，k₂成等差數(shù)列．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由，得點(diǎn)M是線段FT的中點(diǎn)，則，，
又，
由，得，①
由，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，∴t=y②
由①②消去t，得y²=4x即為所求點(diǎn)P的軌跡C的方程
（Ⅱ）證明：設(shè)直線TA，TF，TB的斜率依次為k₁，k，k₂，并記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
設(shè)直線AB方程為x=my+1，得y²-4my-4=0，∴，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=16m²+8，
∴
=
=
=-t=2k
∴k₁，k，k₂成等差數(shù)列
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了考生綜合分析問題的能力和基本的計(jì)算能力．