Question

奇函數(shù)f（x）的定義域為R，且在[0，+∞）上為增函數(shù)，問：是否存在m使f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）對任意x∈[0，1]都成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵奇函數(shù)f（x）的定義域為R，∴f（0）=0，
則不等式f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）等價為f（x²-3）+f（2m-3x）＞0，
即f（x²-3）＞-f（2m-3x）=f（3x-2m），
∵f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
若f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）對任意x∈[0，1]都成立，
等價為x²-3＞3x-2m對任意x∈[0，1]都成立，
即x²-3x-3＞-2m對任意x∈[0，1]都成立，
設(shè)g（x）=x²-3x-3，則對稱軸為x=-

-3

2

=

3

2

，
則函數(shù)g（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴g（x）的最小值為g（1）=1-3-3=-5，
則滿足-2m＜-5，
解得m＞

5

2

．
故存在m＞

5

2

使f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）對任意x∈[0，1]都成立．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．