Question

10．已知△ABC的三邊a，b，c滿足b²+c²=5a²，BE，CF分別為邊AC，AB上的中線，建立適當的平面直角坐標系探究BE與CF的位置關系．

Answer 1

分析 BE、CF的交點為O，連接EF，則O點為△ABC的重心，有EF=$\frac{a}{2}$，OE=$\frac{BE}{3}$，OF=$\frac{CF}{3}$，可得BE²=$\frac{1}{4}$（2a²+2c²-b²），CF²=$\frac{1}{4}$（2a²+2b²-c²），可求得OE²+OF²=EF²從而可得OE⊥OF，即可得BE與CF的位置關系．

解答 解：設BE、CF的交點為O，連接EF，則O點為△ABC的重心，
∴EF=$\frac{a}{2}$，OE=$\frac{BE}{3}$，OF=$\frac{CF}{3}$，
根據中線定理可知：BE²=$\frac{1}{4}$（2a²+2c²-b²），CF²=$\frac{1}{4}$（2a²+2b²-c²），
所以OE²+OF²=（$\frac{BE}{3}$）²+（$\frac{CF}{3}$）²=$\frac{1}{36}$（2a²+2c²-b²）+$\frac{1}{36}$（2a²+2b²-c²）=$\frac{1}{36}$（4a²+b²+c²）=$\frac{1}{36}$（4a²+5a²）=$\frac{1}{4}$a²=EF²
所以OE⊥OF，
即BE⊥CF，
所以以O為坐標原點，OE，OF分別為x，y軸，建立坐標系，可得BE⊥CF．

點評 本題主要考查了余弦定理的應用，三角形的解法，屬于基本知識的考查．