Question

2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y≤0\\ x≥-1\end{array}\right.$，則z=x+2y+6的取值范圍是[3，11]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求z的取值范圍．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y≤0\\ x≥-1\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+2y+6得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3，
平移直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3，
由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3的截距最大，
此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-1，3），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+2y+6得z=11．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為6．
當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$z-3的截距最小，
此時(shí)z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（-1，-1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+2y+6得z=3．
即目標(biāo)函數(shù)的最小值為3．
目標(biāo)函數(shù)z=x+2y+6的取值范圍是[3，11]．
故答案為：[3，11]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．