Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），1），$\overrightarrow{n}$=（2cosωx，-$\sqrt{3}$）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{12}$]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積計算f（x），利用最小正周期求出ω的值，寫出f（x）的解析式，再求出f（x）的單調增區(qū)間；
（2）根據(jù)x的取值范圍求出2x+$\frac{π}{3}$的取值范圍，再求sin（2x+$\frac{π}{3}$）的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），1），$\overrightarrow{n}$=（2cosωx，-$\sqrt{3}$）（ω＞0），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
=4sin（ωx+$\frac{π}{3}$）cosωx-$\sqrt{3}$
=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∴最小正周期為T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{4π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-2，2]，
  即f（x）的值域是[-2，2]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與正弦函數(shù)的單調性和最值的計算問題，是基礎題目．