Question

6．設函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=（x+1）f（x）+a（2x²+3x），若對任意x≥0都有g（x）≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得當a=1時的函數(shù)f（x）的導數(shù)，求得單調區(qū)間，可得x=0取得極大值，且為最大值；
（Ⅱ）求得g（x）的導數(shù)，由a=1可得ln（x+1）≤x對x＞-1恒成立，對a討論，分①當a≤-$\frac{1}{2}$時，②當-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，③當a≥0時，運用函數(shù)的單調性和不等式的性質，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，
導數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=-$\frac{x}{1+x}$（x＞-1），
當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得x=0處，f（x）取得極大值，且為最大值f（0）=0；
（Ⅱ）由函數(shù)g（x）=（x+1）f（x）+a（2x²+3x）=（x+1）ln（x+1）+a（x²+2x），
導數(shù)g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1（x＞-1），
由（Ⅰ）可得a=1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）≤x對x＞-1恒成立．
①當a≤-$\frac{1}{2}$時，g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1≤x+2ax+2a+1=（2a+1）（x+1）≤0，
即g（x）在[0，+∞）遞減，從而g（x）≤g（0）=0滿足題意；
②當-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，存在x∈（0，-$\frac{1}{2a}$-1），使得ln（x+1）＞0，1+2a（x+1）＞0，
從而g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1＞0，即g（x）在（0，-$\frac{1}{2a}$-1）遞增，
故存在x₀∈（0，-$\frac{1}{2a}$-1），使得g（x0）＞g（0）=0，不滿足題意；
③當a≥0時，?x＞0，g（x）=（x+1）ln（x+1）+a（x²+2x）＞0，此時不滿足題意．
綜上可得，a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，以及不等式的性質，函數(shù)的單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．