Question

16．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{m}{x}$（m∈R），對任意x₃≥e，存在0＜x₁＜x₂＜x₃，使得f（x₁）=f（x₃）=g（x₂），則實數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （0，e²-1）
• B． （e²-1，+∞）
• C． （0，e²+1）
• D． （e²+1，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，討論0＜x＜1，x＞1，可得單調(diào)性、最值，畫出f（x）的圖象，由題意可得m＞0，令t=f（x₁）=f（x₃）=g（x₂），可得直線y=t與y=g（x）的圖象交點在y=f（x）的圖象上方，可得m的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-$\frac{lnx}{x}$的導數(shù)為f′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，x²-1＜0，lnx＜0，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當x＞1時，x²-1＞0，lnx＞0，f′（x）＞0，f（x）遞增．
可得f（x）在x=1處取得極小值，且為最小值1．
作出y=f（x）的圖象．
由題意可得f（x）在[e，+∞）遞增，且f（x）≥f（e）=e-$\frac{1}{e}$．
任意x₃≥e，存在0＜x₁＜x₂＜x₃，使得f（x₁）=f（x₃）=g（x₂），
可得f（x₁）=f（x₃）=g（x₂）≥e-$\frac{1}{e}$．
令t=f（x₁）=f（x₃）=g（x₂），
則m＞0，直線y=t與y=g（x）的圖象交點在y=f（x）的圖象上方．
即有$\frac{m}{e}$＜e-$\frac{1}{e}$，解答m＜e²-1，
則m的范圍是（0，e²-1）．
故選：A．

點評 本題考查任意性和存在性問題的解法，考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，畫出圖象，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．