Question

4．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集為{x|x＞m}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|=m（t≠0）有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，去掉絕對(duì)值號(hào)，得到關(guān)于x的不等式組，求出m的值即可；（Ⅱ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由|x+3|＜2x+1得，
$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）＜2x+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3＜2x+1}\end{array}\right.$，
解得x＞2，
依題意m=2．
（Ⅱ）∵|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥|x-t-x-$\frac{1}{t}$|=|t|+$\frac{1}{|t|}$，
當(dāng)且僅當(dāng)（x-t）（x+$\frac{1}{t}$）≥0時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|=2有實(shí)數(shù)根，
所以|t|+$\frac{1}{|t|}$≤2，另一方面|t|+$\frac{1}{|t|}$≥2，
所以|=|t|+$\frac{1}{|t|}$=2，
所以t=1或t=-1．

點(diǎn)評(píng) 本小題考查絕對(duì)值不等式的解法與性質(zhì)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．