Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=$\sqrt{7}$，點(diǎn)E為線(xiàn)段AD上的一點(diǎn)．現(xiàn)將△DCE沿線(xiàn)段EC翻折到PEC（點(diǎn)D與點(diǎn)P重合），使得平面PAC⊥平面ABCE，連接PA，PB．
（I）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且點(diǎn)E為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，求二面角P-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，推導(dǎo)出△ABC≌△ADC，∠DAC=∠BAC，從而AC⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，以直線(xiàn)OA，OB分別為x軸，y軸，平面PAC內(nèi)過(guò)O且垂直于直線(xiàn)AC的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，在四邊形ABCD中
∵AB=AD=4，BC=CD=$\sqrt{7}$，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，
∴AC⊥BD，
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，
∴BD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線(xiàn)OA，OB分別為x軸，y軸，
平面PAC內(nèi)過(guò)O且垂直于直線(xiàn)AC的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)P（x，o，z），由題意得A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（0，2，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），E（$\sqrt{3}$，-1，0），
∵PE=2，PC=$\sqrt{7}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-\sqrt{3}）^{2}+1+{z}^{2}=4}\\{（x+\sqrt{3}）^{2}+{z}^{2}=7}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，z=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，∴P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，$\frac{\sqrt{15}}{3}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，0，$\frac{\sqrt{15}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），
設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}=-\frac{5\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{15}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=-2\sqrt{3}a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$），
平面$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角P-AB-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴二面角P-AB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，注意向量法的合理運(yùn)用．