Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，點(diǎn)（2，-$\sqrt{2}}$）在C上
（1）求橢圓C有方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x²+y²=1上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接由已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入圓的方程求得m的值．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4．
∴橢圓C有方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，可得3x²+4mx+2m²-8=0．
△=16m²-12（2m²-8）=-8m²+96＞0，得-2$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$，
∴線段AB的中點(diǎn)M（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）．
代入圓x²+y²=1，得$（-\frac{2m}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}=1$，解得：m=$±\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．