Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2，2cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin2x，2cosx），x∈R．
（1）求f（x）的最大值與最小正周期；
（2）已知g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，求g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 由已知條件結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得f（x），再由輔助角公式化積．
（1）由函數(shù)解析式求得f（x）的最大值與最小正周期；
（2）由g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱求得g（x）的解析式，再由x的范圍求得相位的范圍，則g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域可求．

解答 解：由$\overrightarrow{m}$=（2，2cosx），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin2x，2cosx），得
f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$2\sqrt{3}sin2x+4co{s}^{2}x$=$2\sqrt{3}sin2x+4×\frac{1+cos2x}{2}$
=$2\sqrt{3}sin2x+2cos2x+2$=$4sin（2x+\frac{π}{6}）+2$．
（1）f（x）的最大值為6，最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，
∴g（x）=f（$\frac{π}{2}-x$）=$4sin（π-2x+\frac{π}{6}）+2$=$4sin（2x-\frac{π}{6}）+2$．
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，則g（x）∈[0，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角函數(shù)的圖象變換，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．