Question

給出以下命題：
①過點(diǎn)P（2，3），且與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切的直線方程為3x-4y+6=0；
②雙曲線

y2

49

-

x2

25

=-1的漸近線方程為y=±

7

5

x；
③不等式

1-2x

(x-1)(x+3)

≤0的解集為{x|x＜-3或

1

2

≤x＜1}；
④已知點(diǎn)A（4，-2），拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上移動，則|MA|+|MF|的最小值為6．
其中正確命題的序號是

②④

．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)P在圓（x-1）²+（y-1）²=1的外部，可得切線有兩條，故①不正確；根據(jù)雙曲線的漸近線的定義與求法，可得②正確；根據(jù)分式不等式與高次不等式的解法，可得③的解集不正確；根據(jù)拋物線的定義，可證出M在拋物線y²=8x上移動，則|MA|+|MF|的最小值為6，得到④正確．由此可得本題答案．

解答：解：對于①，過點(diǎn)P（2，3），且與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切的直線方程
除了3x-4y+6=0外，還有一條斜率不存在的直線x=2，故①不正確；
對于②，令

y2

49

-

x2

25

=0，得y=±

7

5

x，可得雙曲線

y2

49

-

x2

25

=-1的漸近線方程為y=±

7

5

x，②正確；
對于③，不等式

1-2x

(x-1)(x+3)

≤0即

2x-1

(x-1)(x+3)

≥0
解之此不等式，可得它的解集為{x|x＞1或-3＜x≤

1

2

}，故③不正確；
對于④，由于拋物線y²=8x的準(zhǔn)線為x=-2，設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)為N
所以點(diǎn)M在拋物線上移動，|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|=4-（-2）=6
由此可得|MA|+|MF|的最小值為6，得④正確
故答案為：②④

點(diǎn)評：本題給出幾個命題，要求找出其中的真命題．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、不等式的解法和圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．