Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= sin（ωx+φ）+2sin2 ﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，且相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為 ．
（1）當(dāng)x∈（﹣ ， ）時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 （縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象．當(dāng)x∈[﹣ ， ]時(shí)，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin（ωx+φ）+2sin2 ﹣1= sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+ ）

∵函數(shù)是奇函數(shù)，0＜φ＜π

∴φ=﹣ ，

∴f（x）=2sinωx，

∵相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為 ，

∴ =π，

∴ω=2，

∴f（x）=2sin2x，

∵x∈（﹣ ， ），

∴2x∈（﹣π， ），

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣ ，﹣ ）

（2）解：由題意，g（x）=2sin（x﹣ ）．

當(dāng)x∈[﹣ ， ]時(shí)，x﹣ ∈[﹣ π，﹣ ]，

∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇﹣ ，﹣1]

【解析】（1）f（x）=2sin（ωx+φ+ ），利用函數(shù)是奇函數(shù)，0＜φ＜π，且相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為 ，即可求出當(dāng)x∈（﹣ ， ）時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得y=g（x），即可求出當(dāng)x∈[﹣ ， ]時(shí)，求函數(shù)g（x）的值域．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用兩角和與差的正弦公式和二倍角的正弦公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：．