Question

8．已知a＞0，b＞0，且$\frac{2}{2+a}+\frac{1}{a+2b}=1$，則a+b的最小值是$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$此時a=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 變形a+b=$\frac{1}{2}$（2+a+a+2b）-1=$\frac{1}{2}$（2+a+a+2b）$（\frac{2}{2+a}+\frac{1}{a+2b}）$-1=$\frac{1}{2}（3+\frac{2（a+2b）}{2+a}+\frac{2+a}{a+2b}）$-1，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：a+b=$\frac{1}{2}$（2+a+a+2b）-1=$\frac{1}{2}$（2+a+a+2b）$（\frac{2}{2+a}+\frac{1}{a+2b}）$-1=$\frac{1}{2}（3+\frac{2（a+2b）}{2+a}+\frac{2+a}{a+2b}）$-1≥$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{2（a+2b）}{2+a}×\frac{2+a}{a+2b}}）$-1=$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{1}{2}$時取等號．
故答案分別為：$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$；$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．