Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1 a-1 (x-1)，(x≥a) 1 a-2 (x-2)，(x＜a)

．
（1）若a=

3

2

，則f（x）的最小值是

 

；
（2）已知存在t₁，t₂使得f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，則t₁-t₂的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把a=

3

2

代入化簡得f（x）=

2(x-1)，x≥ 3 2 -2(x-2)，x＜ 3 2

，由此可知當(dāng)x＜

3

2

時(shí)f（x）=-2（x-2）遞減，當(dāng)x＞

3

2

時(shí)f（x）=2（x-1）遞增，則fmin(x)=f(

3

2

)=1；

（2）分a＜1時(shí)，當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)1＜a＜2時(shí)三種情況，討論f（x）在區(qū)間（-∞，a）與（a，+∞）的單調(diào)性，利用f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，得出t₁-t₂的表達(dá)式，從而求出取值范圍．

解答： 解：（1）若a=

3

2

，則f（x）=

2(x-1)，x≥ 3 2 -2(x-2)，x＜ 3 2

，
當(dāng)x＜

3

2

時(shí)f（x）=-2（x-2）遞減，當(dāng)x＞

3

2

時(shí)f（x）=2（x-1）遞增，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，即fmin(x)=f(

3

2

)=1，
故答案為：1
（2）當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)減，且f（a）=1，此時(shí)有

1 a-1 (t1-1)= 1 2 1 a-2 (t2-2)= 3 2

，
∴t1-t2=

3

2

-a＞

1

2

；
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)有

1 a-2 (t1-2)= 1 2 1 a-1 (t2-1)= 3 2

，
∴t1-t2=

3

2

-a＜-

1

2

當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，a）單調(diào)減，（a，+∞）單調(diào)增，故f（x）≥f（a）=1，不滿足．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞），
故答案為：（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，熟練掌握分段函數(shù)單調(diào)性的特征是解答的關(guān)鍵