Question

底面半徑為2，高為4

2

的圓錐有一個(gè)內(nèi)接的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱）．
（1）設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，試將棱柱的高h(yuǎn)表示成x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，此正四棱柱的表面積最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由相似性可得

2 2 x

2

=

4 2 -h

4 2

，從而化出h=4

2

-2x，（其中0＜x＜2

2

）；
（2）設(shè)該正四棱柱的表面積為y，則y=2x²+4xh=2x²+4x（4

2

-2x）=-6x²+16

2

x，利用配方法求函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）根據(jù)相似性可得：

2 2 x

2

=

4 2 -h

4 2

，
解得：h=4

2

-2x，（其中0＜x＜2

2

）．
（2）解：設(shè)該正四棱柱的表面積為y．則有關(guān)系式：
y=2x²+4xh=2x²+4x（4

2

-2x）
=-6x²+16

2

x
=-6（x-

4

3

2

）²+

64

3

，
因?yàn)?＜x＜2

2

，
所以當(dāng)x=

4

3

2

時(shí)，
y_max=

64

3

，
故當(dāng)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為

4

3

2

時(shí)，此正四棱柱的表面積最大，為

64

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．