Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，且平面平面.為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面交于.

（1）求證：平面；

（2）若時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）首先證明平面，由平面平面，可說明，由此可得四邊形為平行四邊形，即可證明平面；

（2）延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，則即為二面角的平面角，求出的余弦值即可得到答案。

（1）∵為矩形

∴，平面，平面

∴平面.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

∴.

為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形

所以，平面，平面

所以平面

（2）不妨設(shè)，.

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，為等邊三角形，所以，，且

∵，所以有平面，故

因?yàn)槠矫?/span>平面

∴平面，又，

∴平面，則

延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，

由于平行且等于，所以為中點(diǎn)，，

由于，，，所以平面，則，

所以即為二面角的平面角

在中，，，

所以，

所以.