Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足：①a1=1；②所有項an∈N*；③1=a1<a2<…<an<an+1<….設(shè)集合Am={n|an≤m，m∈N*），將集合Am中的元素的最大值記為bm，即bm是數(shù)列{an}中滿足不等式an≤m的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列{bn}為數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列.

例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3.

（I）若數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，2，3，3，3，3……，請寫出數(shù)列{an}；

（II）設(shè)an=4n-1，求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bn}的前50項之和；

（III）若數(shù)列{an}的前n項和（其中c為常數(shù)），求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bm}的前m項和Tm.

Answer 1

【答案】（I）1，3，6 （II）Tm=

【解析】試題分析：（1）直接根據(jù)伴隨數(shù)列的定義可得出數(shù)列的前三項；（2）當(dāng)時， ,當(dāng)時， 當(dāng)時， ，（3）討論兩種情況，當(dāng)時； ；當(dāng) 時， .

試題解析：（I）1，3，6 （II）由an=4n-1≤m，得n≤l+log4m（m∈N*）

當(dāng)1≤m≤3，m∈N*時，b1=b2=b3=1

當(dāng)4≤m≤15，m∈N*時，b4=b5=…=b15=2

當(dāng)16≤m≤50，m∈N*時，b16=b17=…=b50=3

∴b1+b2+…+b50=1×3+2×12+3×35=132

（III）∵a1=S1=1+c=1 ∴c=0

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1 ∴an=2n-1（n∈N*）

由an=2n-l≤m得，n≤（m∈N*）

因為使得an≤m成立的n的最大值為bm，

所以b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t-1=b2t=t（t∈N*）

當(dāng)m=2t-1（t∈N*）時；

Tm=2··（t-1）+t=t2=（m+1）2

當(dāng)m=2t （t∈N*）時；

Tm=2··t=t2+t=m（m+2）

所以Tm=