Question

15．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A₁B₁上，且滿足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$（λ∈R）．
（1）求異面直線PN，AM所成的角；
（2）若平面PMN與平面ABC所成的角為45°，試確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PN，AM所成的角．
（2）求出平面ABC的法向量和平面PMN的一個(gè)法向量，利用同量法能求出在直線A₁B₁上不存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的角為45°．

解答 證明：（1）如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（λ，0，1），N（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），A（0，0，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AM}$=0+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=0，
∴PN⊥AM，
∴異面直線PN，AM所成的角為90°．
解：（2）平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{MP}$=（$λ，-1，\frac{1}{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PN}=（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=λx-y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，2λ+1，2-2λ），
∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2-2λ}{\sqrt{9+（2λ+1）^{2}+（2-2λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$λ=-\frac{1}{2}$，
∴在直線A₁B₁上不存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．