Question

3．如圖1所示，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，AD=8，BC=CD=4，過B作BE⊥AD于E，P是線段DE上的一個動點，將△ABE沿BE向上折起，使AC=4$\sqrt{3}$，連結(jié)PA、PC、AC（如圖2）．
（Ⅰ）若點P、Q分別為DE和AC的中點，求證：PQ∥平面ABE；
（Ⅱ）若平面AEB和平面APC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求PE的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理證明ME∥PQ即可．
（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法結(jié)合二面角的余弦值建立方程關(guān)系進行求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）取AB的中點M，連結(jié)EM，QM．

由Q為AC的中點，得MQ∥BC，且$MQ=\frac{1}{2}BC$，
又PE∥BC，且$PE=\frac{1}{2}BC$，
∴PE∥MQ，PE=MQ，
∴四邊形PEMQ為平行四邊形，
故ME∥PQ．
又PQ?平面AEB，ME?平面AEB，
所以PQ∥平面AEB．   
（Ⅱ）在△AEC中，AE=4，EC²=4+4=32，AC=4$\sqrt{3}$，
∴AE²+EC²=AD²，
由勾股定理得AE⊥EC，
∵AE⊥BE，CE∩BE=E，
∴AE⊥平面BCDE，
以E為原點，分別以$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{ED}，\overrightarrow{EA}$為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖2），
設(shè)PF=a，0≤a≤4，
則E（0，0，0），B（4，0，0），A（0，0，4），P（0，a，0），
C（4，4，0），$\overrightarrow{PC}$=（4，4-a，0），$\overrightarrow{AC}$=（4，4，-4），
設(shè)平面APC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=4x+（4-a）y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=4x+4y-4z=0，
令z=1，則x=1-$\frac{4}{a}$，y=$\frac{4}{a}$，則$\overrightarrow{m}$=（1--$\frac{4}{a}$，$\frac{4}{a}$，1）
平面AEB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵平面AEB和平面APC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$|=$\frac{\frac{4}{a}}{\sqrt{（\frac{4}{a}）^{2}+（1-\frac{4}{a}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
平方解得a=2，即PE=2．

點評 本題考查了空間中的線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．