Question

16．某校在高二年級(jí)開展了體育分項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)，將體育課分為大球（包括籃球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田徑、體操四大項(xiàng)（以下簡稱四大項(xiàng)，并且按照這個(gè)順序）．為體現(xiàn)公平，學(xué)校規(guī)定時(shí)間讓學(xué)生在電腦上選課，據(jù)初步統(tǒng)計(jì)，在全年級(jí)980名同學(xué)中，有意申報(bào)四大項(xiàng)的人數(shù)之比為3：2：1：1，而實(shí)際上由于受多方面條件影響，最終確定的四大項(xiàng)人數(shù)必須控制在2：1：3：1，選課不成功的同學(xué)由電腦自動(dòng)調(diào)劑到田徑類．
（Ⅰ）隨機(jī)抽取一名同學(xué)，求該同學(xué)選課成功（未被調(diào)劑）的概率；
（Ⅱ）某小組有五名同學(xué)，有意申報(bào)四大項(xiàng)的人數(shù)分別為2、1、1、1，記最終確定到田徑類的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）隨機(jī)抽取一名同學(xué)，利用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出該同學(xué)選課成功（未被調(diào)劑）的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值為1，2，3，4．分別出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）隨機(jī)抽取一名同學(xué)，該同學(xué)選課成功（未被調(diào)劑）的概率：
$P=\frac{3}{7}×\frac{2}{3}+\frac{2}{7}×\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{5}{7}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值為1，2，3，4．
$P（X=1）=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{4}{18}$，
$P（X=2）=2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{8}{18}$，
$P（X=3）=2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{5}{18}$，
$P（X=4）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{18}$．
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{18}$	$\frac{8}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

$EX=1×\frac{4}{18}+2×\frac{8}{18}+3×\frac{5}{18}+4×\frac{1}{18}=\frac{13}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．