【題目】已知函數f(x)=alnx﹣3x在x處取得極值.
(1)若對任意x∈(0,+∞),f(x)≤m恒成立,求實數m的取值范圍;
(2)討論函數F(x)=f(x)+x2+k(k∈R)的零點個數.
【答案】(1)[﹣ln3﹣1,+∞);(2)答案不唯一,見解析
【解析】
(1)求導后,根據已知條件可得的值,進而判斷函數的單調性,由此求出函數在定義域上的最大值,進而求得實數的取值范圍;
(2)利用導數求出當變化時,,的變化情況,進而討論得出結論.
(1)∵,
由題意,,
∴a=1,
∴,
當時,f′(x)<0,當時,f′(x)>0,
∴函數f(x)在上為增函數,在上為減函數,,
∴m≥﹣ln3﹣1,
即實數m的取值范圍為[﹣ln3﹣1,+∞);
(2)F(x)=f(x)+x2+k=lnx﹣3x+x2+k,x∈(0,+∞),∴,
令F′(x)=0,解得,當x變化時,F(x),F′(x)的變化情況如下表,
x | 1 | (1,+∞) | |||
F′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
F(x) | 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
而,
∴當且﹣2+k<0,即時,函數F(x)有3個零點;
當或﹣2+k=0,即或k=2時,函數F(x)有2個零點;
當或﹣2+k>0,即或k>2時,函數F(x)有1個零點.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】規(guī)定:在桌面上,用母球擊打目標球,使目標球運動,球的位置是指球心的位置,我們說球 A 是指該球的球心點 A.兩球碰撞后,目標球在兩球的球心所確定的直線上運動,目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時,母球球心所指向目標球球心的方向.所有的球都簡化為平面上半徑為 1 的圓,且母球與目標球有公共點時,目標球就開始運動,在桌面上建立平面直角坐標系,解決下列問題:
(1) 如圖,設母球 A 的位置為 (0, 0),目標球 B 的位置為 (4, 0),要使目標球 B 向 C(8, -4) 處運動,求母球 A 球心運動的直線方程;
(2)如圖,若母球 A 的位置為 (0, -2),目標球 B 的位置為 (4, 0),能否讓母球 A 擊打目標 B 球后,使目標 B 球向 (8,-4) 處運動?
(3)若 A 的位置為 (0,a) 時,使得母球 A 擊打目標球 B 時,目標球 B(4, 0) 運動方向可以碰到目標球 C(7,-5),求 a 的最小值(只需要寫出結果即可)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠DAB=60°.
(1)證明:AD⊥PB.
(2)若PB=,AB=PA=2,求三棱錐P-BCD的體積。
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【題目】將函數f(x)=cos(2x)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數g(x)的圖象,則下列結論中正確的是_____.(填所有正確結論的序號)
①g(x)的最小正周期為4π;
②g(x)在區(qū)間[0,]上單調遞減;
③g(x)圖象的一條對稱軸為x;
④g(x)圖象的一個對稱中心為(,0).
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【題目】某人承攬一項業(yè)務,需做文字標牌4個,繪畫標牌5個,現有兩種規(guī)格的原料,甲種規(guī)格每張3m2,可做文字標牌1個,繪畫標牌2個,乙種規(guī)格每張2m2,可做文字標牌2個,繪畫標牌1個,求兩種規(guī)格的原料各用多少張,才能使總的用料面積最?
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【題目】如圖,一樓房高為米,某廣告公司在樓頂安裝一塊寬為米的廣告牌,為拉桿,廣告牌的傾角為,安裝過程中,一身高為米的監(jiān)理人員站在樓前觀察該廣傳牌的安裝效果:為保證安全,該監(jiān)理人員不得站在廣告牌的正下方:設米,該監(jiān)理人員觀察廣告牌的視角.
(1)試將表示為的函數;
(2)求點的位置,使取得最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數方程為(其中為參數)曲線的普通方程為,以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線和曲線的極坐標方程;
(2)射線:依次與曲線和曲線交于、兩點,射線:依次與曲線和曲線交于、兩點,求的最大值.
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