Question

【題目】已知函數f（x）＝alnx﹣3x在x處取得極值．

（1）若對任意x∈（0，+∞），f（x）≤m恒成立，求實數m的取值范圍；

（2）討論函數F（x）＝f（x）+x2+k（k∈R）的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）[﹣ln3﹣1，+∞）；（2）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）求導后，根據已知條件可得的值，進而判斷函數的單調性，由此求出函數在定義域上的最大值，進而求得實數的取值范圍；

（2）利用導數求出當變化時，，的變化情況，進而討論得出結論．

（1）∵，

由題意，，

∴a＝1，

∴，

當時，f′（x）＜0，當時，f′（x）＞0，

∴函數f（x）在上為增函數，在上為減函數，，

∴m≥﹣ln3﹣1，

即實數m的取值范圍為[﹣ln3﹣1，+∞）；

（2）F（x）＝f（x）+x2+k＝lnx﹣3x+x2+k，x∈（0，+∞），∴，

令F′（x）＝0，解得，當x變化時，F（x），F′（x）的變化情況如下表，

x				1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	﹣	0	+
F（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

而，

∴當且﹣2+k＜0，即時，函數F（x）有3個零點；

當或﹣2+k＝0，即或k＝2時，函數F（x）有2個零點；

當或﹣2+k＞0，即或k＞2時，函數F（x）有1個零點．