Question

已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁=

1

2

，a₅-1恰為S₄與

1

b2

的等比中項(xiàng)，圓C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²，直線l：x+y=n，對任意n∈N^*，直線l都與圓C相切．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若n=1時(shí)，c₁=1+

1

1 b1

，n≥2時(shí)，c_n=

1

1 bn-1 +1

+

1

1 bn-1 +2

+…+

1

1 bn

，{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對任意≥2，都有T_n＞

n

2

+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知圓心（2n，

Sn

）到直線l：x+y-n=0的距離d為

2

n，從而

Sn

=n，由此能求出a_n=2n-1．由a₅-1恰為S₄與

1

b2

的等比中項(xiàng)，a₅=9，S₄=16，b2=

1

2

q，得q=

1

2

，由此能求出b_n=(

1

2

)n．
（Ⅱ）由n≥2時(shí)，c_n=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

＞

1

2n

+

1

2n

+…+

1

2n

=

2n-1

2n

=

1

2

，能證明對任意≥2，都有T_n＞1+

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=

n

2

+1．

解答： （Ⅰ）解：圓C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²的圓心為（2n，

Sn

），
半徑為

2

n，對任意n∈N^*，直線l：x+y-n=0都與圓C：(x-2n)2+(y-

Sk

)2=2n²相切，
∴圓心（2n，

Sn

）到直線l：x+y-n=0的距離d為

2

n，
∴d=

|2n+ Sn -n|

2

=

2

n，解得

Sn

=n，
∴S_n=n²，n∈N^*，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，∴a_n=2n-1．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則bn=

1

2

qn-1，
∵a₅-1恰為S₄與

1

b2

的等比中項(xiàng)，a₅=9，S₄=16，b2=

1

2

q，
∴（9-1）²=64=16×

1

1 2 q

，解得q=

1

2

，…（7分）
∴b_n=

1

2

(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．…（8分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=(1+

1

2

)+(

1

2+1

+

1

22

)+(

1

22+1

+

1

22+2

+

1

22+3

+

1

23

)+…+（

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

），
而n≥2時(shí)，c_n=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

＞

1

2n

+

1

2n

+…+

1

2n

=

2n-(2n-1+1)+1

2n

=

2n-1

2n

=

1

2

，…（10分）
∴對任意≥2，都有T_n＞1+

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=

n

2

+1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，涉及到圓、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用，是中檔題．