Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₄+a₇=20，對(duì)任意的k∈N都有S_k+1=3S_k+k²，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2ⁿ⁺¹-2．
（I） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列a₁b_n，a₂b_n-1，…，a_n-1b₂，a_nb₁各項(xiàng)的和G_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₄+a₇=20，對(duì)任意的k∈N都有S_k+1=3S_k+k²，可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{2{a}_{1}+d=3{a}_{1}+1}\end{array}\right.$，解得a₁，d，可得a_n．
（II）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2ⁿ⁺¹-2．利用遞推關(guān)系：n=1時(shí)，b₁=T₁．n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1．即可得出b_n．
G_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁=1×2ⁿ+3×2^n-1+5×2^n-2+…+（2n-3）×2²+（2n-1）×2，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₄+a₇=20，對(duì)任意的k∈N都有S_k+1=3S_k+k²，∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{2{a}_{1}+d=3{a}_{1}+1}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴n=1時(shí)，b₁=T₁=2．n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，n=1時(shí)也成立．
∴b_n=2ⁿ．
G_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁=（2×1-1）×2ⁿ+（2×2-1）×2^n-1+（2×3-1）×2^n-2+…+（2n-3）×2²+（2n-1）×2=1×2ⁿ+3×2^n-1+5×2^n-2+…+（2n-3）×2²+（2n-1）×2，
$\frac{1}{2}$G_n=1×2^n-1+3×2^n-2+…+（2n-3）×2+（2n-1）×1，
∴$\frac{1}{2}{G}_{n}$=2ⁿ+2×2^n-1+2×2^n-2+…+2×2-（2n-1）=2ⁿ+2ⁿ+2^n-1+…+2²-（2n-1）=2ⁿ+$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）=3×2ⁿ-2n-3，
可得G_n=3×2ⁿ⁺¹-4n-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．