Question

5．已知拋物線x²=2py和$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的公切線PQ（P是PQ與拋物線的切點，未必是PQ與雙曲線的切點）與拋物線的準線交于Q，F(xiàn)（0，$\frac{P}{2}$），若$\sqrt{2}$|PQ|=$\sqrt{3}$|PF|，則拋物線的方程是（　�。�

• A． x²=4y
• B． x²=2$\sqrt{3}$y
• C． x²=6y
• D． x²=2$\sqrt{2}$y

Answer 1

分析 如圖過P作PE⊥拋物線的準線于E，根據(jù)拋物線的定義可知，PE=PF
可得直線PQ的斜率為$\sqrt{2}$，故設(shè)PQ的方程為：y=$\sqrt{2}$x+m  （m＜0）
再依據(jù)直線PQ與拋物線、雙曲線相切求得p．

解答 解：如圖過P作PE⊥拋物線的準線于E，根據(jù)拋物線的定義可知，PE=PF
∵$\sqrt{2}$|PQ|=$\sqrt{3}$|PF|，在Rt△PQE中，sin$∠PQE=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，∴$tan∠PQE=\sqrt{2}$，
即直線PQ的斜率為$\sqrt{2}$，故設(shè)PQ的方程為：y=$\sqrt{2}$x+m  （m＜0）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1}\\{y=\sqrt{2}x+m}\end{array}\right.$消去y得$3{x}^{2}+4\sqrt{2}mx+2{m}^{2}+2=0$．
則△₁=8m²-24=0，解得m=-$\sqrt{3}$，即PQ：y=$\sqrt{2}x-\sqrt{3}$
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=\sqrt{2}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$得${x}^{2}-2\sqrt{2}px+2\sqrt{3}p=0$，△₂=8p²-8$\sqrt{3}$p=0，得p=$\sqrt{3}$．
則拋物線的方程是x²=2$\sqrt{3}$y．故選：B

點評 本題考查了拋物線、雙曲線的切線，充分利用圓錐曲線的定義及平面幾何的知識是關(guān)鍵，屬于中檔題．