Question

2．已知函數(shù)f（x）=x+alnx，在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$-bx．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）的兩個極值點，記t=$\frac{x_1}{x_2}$，若b≥$\frac{13}{3}$，
①t的取值范圍；
②求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解a的值．
（2）①通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點，推出t=$\frac{x_1}{x_2}$的不等式，求出t的范圍．
②化簡g（x₁）-g（x₂）的表達式，構(gòu)造函數(shù)$h（t）=lnt-\frac{1}{2}（t-\frac{1}{t}），t∈（{0，\frac{1}{9}}]$，利用函數(shù)是判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷函數(shù)的極值，推出結(jié)果．

解答 解：（1）由題函數(shù)f（x）=x+alnx，在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，
可得$f'（x）=1+\frac{a}{x}$
由題意知f′（1）=1+a=2，即a=1…（2分）
（2）①由$g（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-（b-1）x$，$g'（x）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$
令g′（x）=0，x²-（b-1）x+1=0．
即x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1
而$\frac{{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{x_1}{x_2}+2+\frac{x_2}{x_1}=t+2+\frac{1}{t}={（b-1）^2}≥\frac{100}{9}$…（6分）
由x₁＜x₂，即0＜t＜1，解上不等式可得：$0＜t≤\frac{1}{9}$…（8分）
②而$g（{x_1}）-g（{x_2}）=ln\frac{x_1}{x_2}-\frac{1}{2}（\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}）=lnt-\frac{1}{2}（t-\frac{1}{t}）$
構(gòu)造函數(shù)$h（t）=lnt-\frac{1}{2}（t-\frac{1}{t}），t∈（{0，\frac{1}{9}}]$
由t$∈（0，\frac{1}{9}]$，h′（t）=-$\frac{（t-1）^{2}}{2{t}^{2}}$＜0，
故h（t）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，$h{（t）_{min}}=h（\frac{1}{9}）=\frac{40}{9}-2ln3$
所以g（x₁）-g（x₂）的最小值為$\frac{40}{9}-2ln3$…（14分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性切線方程，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．