Question

6．若對于任意x＞0，$\frac{{x}^{2}}{7{x}^{2}-4x+1}$≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{3}，∞）$．

Answer 1

分析 將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值并化簡，利用換元法、配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵對于任意x＞0，$\frac{{x}^{2}}{7{x}^{2}-4x+1}$≤a恒成立，
∴a≥$\frac{{x}^{2}}{7{x}^{2}-4x+1}$=$\frac{1}{7-\frac{4}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}}$的最大值即可，
設(shè)t=$\frac{1}{x}$（t＞0），則$\frac{1}{7-\frac{4}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{{t}^{2}-4t+7}$=$\frac{1}{{（t-2）}^{2}+3}$，
∵當(dāng)t=2時，（t-2）²+3取最小值3，∴$\frac{1}{{（t-2）}^{2}+3}$取到最大值是$\frac{1}{3}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{3}，∞）$，
故答案為：$[\frac{1}{3}，∞）$．

點評 本題考查恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，以及換元法、配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．