Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知

BA

•

BC

=-2，cosB=-

2

3

，b=

14

．
（1）求a和c的值；
（2）cos（A-C）的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦定理，解a，c的方程，即可求得a，c；
（2）運(yùn)用余弦定理，求得cosA，cosC，再求sinA，sinC，再由兩角差的余弦公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）由

BA

•

BC

=-2，得cacosB=-2，
cosB=-

2

3

，b=

14

，則有ac=3，
b²=a²+c²-2accosB，即有14=a²+c²+4，
由于a＞c，解得，a=3，c=1；
（2）由于a=3，b=

14

，c=1，
則cosA=

14+1-9

2 14

=

3

14

，cosC=

9+14-1

2×3× 14

=

11

3 14

，
sinA=

1- 9 14

=

5

14

，sinC=

1- 121 9×14

=

5

3 14

，
則有cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC
=

3

14

×

11

3 14

+

5

14

×

5

3 14

=

19

21

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查余弦定理和兩角差的余弦公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．