Question

16．正整數(shù)a、b滿足1＜a＜b，若關(guān)于x、y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4033}\\{y=|x-1|+|x-a|+|x-b|}\end{array}\right.$有且只有一組解，則a的最大值為4031．

Answer 1

分析 化簡可得4033-2x=|x-1|+|x-a|+|x-b|，從而討論以去掉絕對值號，并確定方程的解的個(gè)數(shù)及條件，從而解得．

解答 解：由方程組消y可得，
4033-2x=|x-1|+|x-a|+|x-b|，
當(dāng)x≤1時(shí)，
4033-2x=1-x-x+a-x+b，
故x=b+a-4032，
故當(dāng)b+a≤4033時(shí)，有一個(gè)解；
即a≤4031時(shí)，有一個(gè)解；否則無解；
當(dāng)1＜x≤a時(shí)，
4033-2x=x-1-x+a-x+b，
故x=4034-a-b，
故當(dāng)-a＜4032-a-b≤1，即b＜4032且a+b≥4301時(shí)，有一個(gè)解；
即2015≤a≤4030，有一個(gè)解，
否則無解；
當(dāng)1＜x≤b時(shí)，
4033-2x=x+a+b-1，
故3x=4034-a-b，
故當(dāng)3＜4034-a-b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304時(shí)，有一個(gè)解；
即$\frac{4300}{5}$≤a≤2014，方程有一個(gè)解，
否則無解；
當(dāng)x＞b時(shí)，
4033-2x=3x+a-b-1，
故5x=4034-a+b，
故當(dāng)4034-a+b＞5b，即a+4b＜4304時(shí)，有一個(gè)解；
否則無解；
綜上所述，
當(dāng)a取最大值4031時(shí)，方程有一個(gè)解，
故答案為：4031．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值方程的解法及分類討論的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．