Question

11．某人上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速vkm/h（8≤v≤40）從A港出發(fā)到距100km的B港去，然后乘汽車以勻速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市駛?cè)ィ畱?yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市． 設(shè)乘坐汽車、摩托艇去目的地所需要的時(shí)間分別是xh，yh．
（1）作圖表示滿足上述條件的x，y范圍；
（2）如果已知所需的經(jīng)費(fèi)p=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么v，w分別是多少時(shí)p最��？此時(shí)需花費(fèi)多少元？

Answer 1

分析 （1）由路程，速度，時(shí)間的關(guān)系得出x，y與v，w的關(guān)系式，由v，w得范圍即可得x，y的范圍，再由到達(dá)時(shí)間范圍即可得到不等式組，作圖即可；
（2）利用線性規(guī)劃知識易求．

解答 解：（1）依題意得 $y=\frac{100}{v}，x=\frac{300}{w}，8≤v≤40，30≤w≤100$，∴$3≤x≤10，\frac{5}{2}≤y≤\frac{25}{2}$①
由于乘汽車、摩托艇所需的時(shí)間和x+y應(yīng)在9至 14個(gè)小時(shí)之間，即9≤x+y≤14②
因此，滿足①②的點(diǎn)（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界）

（2）∵p=100+3（5-x）+2（8-y）=131-3x-2y，上式表示斜率為$-\frac{3}{2}$的直線，
當(dāng)動(dòng)直線p=131-3x-2y通過圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界），通過點(diǎn)A時(shí)，p值最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=14\\ x=10\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=4\end{array}\right.$，即當(dāng)x=10，y=4時(shí)，p最�。� 
此時(shí)，v=25，w=30，p的最小值為 93元．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃的實(shí)際運(yùn)用．正確建立不等式組，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．