分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的極值即可;
(2)結(jié)合題意得到f(x)min(x1)+1≥gmax(x2),法一:分離參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為m≤-$\frac{2lnx}{x}$,從而求出m的范圍即可;法二:通過分類討論求出m的范圍即可.
解答 解:(1)f′(x)=-$\frac{a(x+1)(x-1)}{{(1{+x}^{2})}^{2}}$,
a>0時,當(dāng)x=-1時,f(x)的極小值為f(-1)=-$\frac{a}{2}$,
當(dāng)x=1時,f(x)的極大值為f(1)=$\frac{a}{2}$,
a<0時,當(dāng)x=-1時,f(x)的極大值為f(-1)=-$\frac{a}{2}$,
當(dāng)x=1時,f(x)的極小值為f(1)=$\frac{a}{2}$;
(2)方法一:由題意知,x1,x2∈[0,2],
f(x)min(x1)+1≥gmax(x2),
x1∈[0,2],fmin(x1)+1=1,
x∈[0,2],x2emx≤1,m≤-$\frac{2lnx}{x}$,m≤{-$\frac{2lnx}{x}$}min,m≤-ln2,
方法二:分類討論
x1∈[0,2],fmin(x1)+1=1,
∴x∈[0,2],gmax(x)≤1,
g(x)=x2emx,g′(x)=emxx(mx+2),
1)當(dāng)m≥0時,g(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,
gmax(x)=g(2)=4•e2m≤1,解得:m≤-ln2(舍),
2)當(dāng)-1<m<0時,g(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,
gmax(x)=g(2)=4e2m≤1,解得:m≤-ln2,
∴-1<m≤-ln2,
3)當(dāng)m≤-1時,g(x)在[0,-$\frac{2}{m}$]上單調(diào)遞增,在[-$\frac{2}{m}$,2]上單調(diào)遞減,
gmax(x)=g(-$\frac{2}{m}$)=$\frac{4}{{{m}^{2}e}^{2}}$≤1,解得:m≤-$\frac{2}{e}$,∴m≤-1,
綜合得:m≤-ln2.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.
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A. | 1 | B. | $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
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A. | y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$ | B. | y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$|x| | C. | y=x+$\frac{2}{x}$ | D. | y=2-x-2x |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 無數(shù)個 |
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