如圖,四棱錐的底面是正方形,平面,為上的點(diǎn),且.
(1)證明:;
(2)若,求二面角的余弦值.
(1)詳見(jiàn)解析;(2)二面角的余弦值為.
解析試題分析:(1)要證,先證平面,則要證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,先由正方形的對(duì)角線互相垂直得到,再由平面,得到,結(jié)合直線與平面垂直的判定定理得到平面,從而得到;(2)以為原點(diǎn),、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求二面角的余弦值.
試題解析:(1)∵平面,∴,
∵底面是正方形,∴,∴平面,
∵平面,∴.
(2)以為原點(diǎn),、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),則,,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/f/13qyr2.png" style="vertical-align:middle;" />,
易知,,,,,
所以,,,
設(shè)平面的法向量為,則,,
即,令,得,同理可取平面的法向量,
所以,所以二面角的余弦值為.
考點(diǎn):1.直線與平面垂直;2.利用空間向量法求二面角
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,直角梯形中,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,沿將梯形翻折,使平面平面.
(1)當(dāng)最小時(shí),求證:;
(2)當(dāng)時(shí),求二面角平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,ABCD是塊矩形硬紙板,其中AB=2AD,AD=,E為DC的中點(diǎn),將它沿AE折成直二面角D-AE-B.
(1)求證:AD⊥平面BDE;
(2)求二面角B-AD-E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分別是棱AD,AA1,AB的中點(diǎn).
(1)證明:直線EE1∥平面FCC1;
(2)求二面角B-FC1-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∠ABC=60°,N是BC的中點(diǎn),將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)90°,得到梯形ABC′D′(如圖).
(1)求證:AC⊥平面ABC′;
(2)求證:C′N∥平面ADD′;
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形是矩形,且平面平面,,.
(Ⅰ)若點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:平面;
(II)試問(wèn)點(diǎn)在線段上什么位置時(shí),二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知正方體邊長(zhǎng)都為2,且,
E是BC的中點(diǎn),F(xiàn)是的中點(diǎn),
(1)求證:。(2分)
(2)求點(diǎn)A到的距離。(5分)
(3)求證:CF∥。(3分)
(4) 求二面角E-ND-A的平面角大小的
余弦值。(4分)
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