Question

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，則$\frac{a+b}{c}$的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由已知利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值可得sinB=cosA，sinC=1，進(jìn)而利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡所求可得$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+45°），結(jié)合范圍A+45°∈（45°，135°），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求取值范圍．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，可得：sinB=cosA，sinC=1，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
∵A∈（0°，90°），
∴A+45°∈（45°，135°），
∴sin（A+45°）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+45°）∈（1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，熟練掌握相關(guān)公式定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．