Question

2．已知函數(shù)f（x）=|2^x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），則下列結(jié)論中，一定成立的是（　�。�

• A． 2^a+2^c＜2
• B． 2^-a＜2^c
• C． a＜0，b≥0，c＞0
• D． a＜0，b＜0，c＜0

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，結(jié)合題設(shè)可得D不正確；根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合舉反例的方法，可得到B、C不正確；利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的解析式，對a＜c且f（a）＞f（c）加以討論，可得A是正確的．由此不難得到正確選項(xiàng)．

解答 解：對于A，因?yàn)閍＜c，且f（a）＞f（c），說明可能如下情況成立：
（i）a、c位于函數(shù)的減區(qū)間（-∞，0），此時(shí)a＜b＜c＜0，可得f（a）＞f（b）＞f（c）與題設(shè)矛盾；
（ii）a、c不在函數(shù)的減區(qū)間（-∞，0），則必有a＜0＜c，所以f（a）=1-2^a＞2^c-1=f（c），
化簡整理，得2^a+2^c＜2成立．
對于B，取a=0，c=3，同樣f（c）=f（3）=7為最大值，
與題設(shè)矛盾，故B不正確；
對于C，若a＜0，b≥0，c＞0，可設(shè)a=-1，b=2，c=3，
此時(shí)f（c）=f（3）=7為最大值，與題設(shè)矛盾，故C不正確；
對于D，若a＜0，b＜0，c＜0，因?yàn)閍＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，
而函數(shù)f（x）=|2^x-1|在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
故f（a）＞f（b）＞f（c），與題設(shè)矛盾，所以D不正確；
綜上所述，可得只有A正確
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題以一個(gè)帶絕對值的函數(shù)為例，在已知自變量大小關(guān)系和相應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系情況下，叫我們判斷幾個(gè)不等式的正確性，著重考查了函數(shù)的圖象與單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．