Question

12．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB，已知BC=2AD=2AB=2．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若二面角A-ED-B的大小為30°，求EC的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥EC，EC⊥BC，從而EC⊥平面ABCD，進(jìn)而EC⊥BD，由勾股定理得BD⊥DC，由此能證明BD⊥平面DEC．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，在平面BCE中過B作BC的垂線為x軸，BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出EC．

解答 證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EC，
又∵EC⊥BC，AB∩BC=B，∴EC⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴EC⊥BD，
由題意知在梯形ABCD中，有BD=DC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+DC²=BC²，∴BD⊥DC，
又EC∩CD=C，∴BD⊥平面DEC．
解：（Ⅱ）如圖，以B為原點(diǎn)，在平面BCE中過B作BC的垂線為x軸，
BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)$|\overrightarrow{EC}|$=a＞0，則B（0，0，0），E（a，2，0），A（0，0，1），C（0，2，0），D（0，1，1），
$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{ED}$=（-a，-1，1），
設(shè)面AED的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=-ax-y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，a），
設(shè)面BED的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}={y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=a{x}_{1}+2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，令x₁=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-a，a），
∵二面角A-ED-B的大小為30°，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=1．（a=-1，舍），
∴EC=1．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．