Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，且PA=AD．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）設(shè)二面角D-AE-C為60°，且AP=1，求D到平面AEC的距離．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O點(diǎn)，則O為BD的中點(diǎn)，從而PB∥OE，由此能證明PB∥平面AEC．
（2）（幾何法）：推導(dǎo)出PA⊥AD，PA⊥CD，從而AE⊥PD，再推導(dǎo)出AD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，進(jìn)而AE⊥CD，由此能證明AE⊥平面PCD．
（2）（向量法）：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能證明AE⊥平面PCD．
（3）求出平面DAE的法向量和平面AEC的法向量，利用向量法能求出D到平面AEC的距離．

解答 證明：（1）連接BD交AC于O點(diǎn)，則O為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OE，
∵E為PD的中點(diǎn)，∴PB∥OE…（3分）
又∵OE?平面AEC，PB?平面AEC…（5分）
∴PB∥平面AEC；…（6分）
（2）（幾何法）：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD…（7分）
∴在直角△PAD中，PA=ADE為PD的中點(diǎn)，
∴AE⊥PD…（8分）
又∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥CD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD…（10分）
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD，∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD．…（12分）
（2）（向量法）：由題知 四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，
如圖以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
設(shè)AB=a，AD=b，則$A（0，0，0），C（a，b，0），D（0，b，0），P（0，0，b），E（0，\frac{2}，\frac{2}）$…（8分）
∴$\overrightarrow{AE}=（0，\frac{2}，\frac{2}），\overrightarrow{DC}=（a，0，0），\overrightarrow{DP}=（0，-b，b）$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DC}=0，\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DP}=-\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{2}=0$…（10分）
∴AE⊥DC，AE⊥DP，
∵DP∩DC=D，∴AE⊥平面PCD．…（12分）
解：（3）由（2）知平面DAE的法向量是$\overrightarrow{AB}=（a，0，0）$，
∵AP=1，∴$A（0，0，0），E（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}），C（a，1，0）$，
∴$\overrightarrow{AE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}），\overrightarrow{AC}=（a，1，0）$，…（14分）
設(shè)平面AEC的法向量是$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
∴$\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0，\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ ax+y=0\end{array}\right.$，令z=1，得$y=-1，x=\frac{1}{a}$，∴$\overrightarrow n=（\frac{1}{a}，-1，1）$…（15分）
∴$cos\frac{π}{3}=|cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow n＞|=\frac{{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n|}}}{{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{1}{{a\sqrt{\frac{1}{a^2}+2}}}=\frac{1}{2}$，
解得$a=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（16分）
∵$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，0，0）$，
∴D到平面AEC的距離${d_{D-AEC}}=|{\overrightarrow{DC}}|cos{60^0}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…（18分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．