Question

1．已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足3$\overrightarrow{PA}$+5$\overrightarrow{PB}$+2$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，已知△ABC的面積為6，則△PAC的面積為（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 4
• C． 3
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 由條件$3\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$便可得到$3（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）+2（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{0}$，若設(shè)AB中點(diǎn)為D，BC中點(diǎn)為E，則可得到$\overrightarrow{PD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{PE}$，從而得出P，D，E三點(diǎn)共線，并且P在中位線DE上，這樣即可得出${S}_{△PAB}+{S}_{△PBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，從而便可得出△PAC的面積．

解答 解：根據(jù)條件，$3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$=$3（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）+2（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{0}$；
取AB中點(diǎn)D，BC中點(diǎn)E，連接PD，PE，則：
$6\overrightarrow{PD}+4\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{PD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{PE}$；
∴P，D，E三點(diǎn)共線，且P在線段DE上，如圖所示：
則，$DE=\frac{1}{2}AC$；
∴${S}_{△PAB}+{S}_{△PBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=3$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，三角形中位線的性質(zhì)，三角形的面積公式，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系．