Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中：已知曲線C：$\frac{y^2}{4}+{x^2}$=1（x≥0）．
（1）求曲線C的參數(shù)方程；
（2）曲線C上任意點P（除短軸端點外）與短軸兩個端點B₁，B₂連線分別為與x軸交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，求證：|OM|•|ON|為定值．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的參數(shù)方程，及同角的平方關(guān)系，即可得到所求參數(shù)方程；
（2）設(shè)P（cosθ，2sinθ），$θ∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，設(shè)B₁（0，2），B₂（0，-2），求出直線PB₁的方程，直線PB₂的方程，令y=0，求得M，N的坐標(biāo)，計算即可得到|OM|•|ON|為定值1．

解答 解：（1）由曲線C：$\frac{y^2}{4}+{x^2}$=1（x≥0），可得
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)，$θ∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$）；
（2）證明：設(shè)P（cosθ，2sinθ），$θ∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，
設(shè)B₁（0，2），B₂（0，-2），
可得直線PB₁的方程為y=$\frac{2sinθ-2}{cosθ}$x+2，
直線PB₂的方程為y=$\frac{2sinθ+2}{cosθ}$x+2，
令y=0，可得M（$\frac{cosθ}{1-sinθ}$，0），N（$\frac{-cosθ}{1+sinθ}$，0），
則|OM|•|ON|=|$\frac{cosθ}{1-sinθ}$•$\frac{-cosθ}{1+sinθ}$|=|$\frac{co{s}^{2}θ}{1-si{n}^{2}θ}$|=1．
即有|OM|•|ON|為定值1．

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，考查參數(shù)方程的運用，以及直線方程的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．