Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），（1）求f（x）的最小值．
（2）設(shè)正數(shù)p₁，p₂，…，p_2ⁿ滿足p₁+p₂+p₃+…+p_2ⁿ=1，求證p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+p_2ⁿlog₂p_2ⁿ≥-n．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x），令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出根，判斷根左右的單調(diào)性，最終確定極小值就是最小值，從而求得f（x）的最小值；
（2）構(gòu)造一個(gè)函數(shù)g（x）=xlog₂x-x+1，利用導(dǎo)數(shù)判斷出g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，確定出g（x）≥g（1）=0，即xlog₂x≥x-1，再對(duì)其中的x進(jìn)行取值，構(gòu)造出所要證明的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)，即可證明出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），
∴f′（x）=log₂x-log₂（1-x），
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，
∴當(dāng)x＜

1

2

時(shí)，f′（x）=log₂x-log₂（1-x）＜0，則f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上是減函數(shù)，
當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f′（x）=log₂x-log₂（1-x）＞0，則f（x）在區(qū)間（

1

2

，1）上是增函數(shù)，
∴f（x）在x=

1

2

處取得最小值，f（

1

2

）=-1，
∴f（x）的最小值為-1．
（2）證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlog₂x-x+1，
∴g′（x）=log₂x+

1

ln2

-1，則當(dāng)x≥1時(shí)，log₂x≥0，

1

ln2

-1＞0，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）＞0，即g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）=0，即xlog₂x-x+1≥0，
∴xlog₂x≥x-1．
令x=2ⁿP_i，則有2ⁿP_ilog₂（2ⁿP_i）≥2ⁿP_i-1，兩邊同除以2ⁿ，可得，P_ilog₂（2ⁿP_i）≥P_i-

1

2n

，
∴P₁log₂（2ⁿP₁）≥P₁-

1

2n

，P²log₂（2ⁿP₂）≥P₂-

1

2n

，P₃log₂（2ⁿP₃）≥P₃-

1

2n

，…，P_2ⁿlog₂（2ⁿP_2ⁿ）≥P_2n-

1

2n

，
∴以上式子左右分別相加，可得P₁log₂（2ⁿP₁）+P₂log₂（2ⁿP₂）+…+P_2nlog₂（2ⁿP_2n）≥（P₁-

1

2n

）+（P₂-

1

2n

）+…+P_2ⁿ-

1

2n

，
化簡(jiǎn)可得，（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）log2（^₂n）+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）-2ⁿ•

1

2n

，
∵P₁+P₂+…P_2ⁿ=1，
∴l(xiāng)og2（^₂n）+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥0，
∴n+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥0，
∴P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，同時(shí)考查了不等式的證明，關(guān)鍵在于如何構(gòu)造出所要證明的不等式，這是一個(gè)難點(diǎn)．屬于難題．