Question

10．在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}}$）=m（m∈R），以極點(diǎn)為原點(diǎn)極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)，且α∈[0，π]）．
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)方程求出直角坐標(biāo)方程和普通方程即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由直線l的極坐標(biāo)方程得：$\sqrt{2}ρ（{sinθcos\frac{π}{4}-cosθsin\frac{π}{4}}）=m$，
即直線l的直角坐標(biāo)方程為：y-x=m，
由曲線C的參數(shù)方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)，且α∈[0，π]）．
得：${（{\frac{x}{{\sqrt{3}}}}）^2}+{y^2}=\frac{x^2}{3}+{y^2}=1，y∈[{0，1}]$
（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)為$（{\sqrt{3}cosα，sinα}）$，
則$m=sinα-\sqrt{3}cosα=2sin（{α-\frac{π}{3}}），α∈[{0，π}]$，
∴-$\frac{π}{3}$≤α-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
畫出y=2sin（α-$\frac{π}{3}$）的圖象，如圖示：
，
α=$\frac{2}{3}$π時(shí)，y=2sin$\frac{2}{3}$π=$\sqrt{3}$，
∵直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，
∴$m∈[{\sqrt{3}，2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是一道中檔題．