Question

5．若函數(shù)f（x）具有性質(zhì)：①f（x）為偶函數(shù)，②對任意x∈R都有f（x）=f（$\frac{π}{2}$+x）．則函數(shù)f（x）的解析式可以是：f（x）=cos4x（只需寫出滿足條件的一個解析式即可）

Answer 1

分析 題目中條件：“若f（x）具有性質(zhì)：①f（x）為偶函數(shù)，”說明有f（-x）=f（x）；“②對任意x∈R，都有f（x）=f（$\frac{π}{2}$+x）是周期函數(shù)，從三角函數(shù)中尋找即得．

解答 解：∵若f（x）具有性質(zhì)：①f（x）為偶函數(shù)，
∴說明有f（-x）=f（x）；
②對任意x∈R，f（x）=f（$\frac{π}{2}$+x）是周期函數(shù)．
我們從三角函數(shù)中尋找即得：f（x）=cos4x．
故答案為：f（x）=cos4x．

點評 本題主考查抽象函數(shù)的周期性、對稱性以及偶函數(shù)，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．抽象函數(shù)的抽象性賦予它豐富的內(nèi)涵和多變的思維價值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創(chuàng)新精神．