Question

對(duì)任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|x+1|的最小值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=|x-1|+|x|+|x+1|，對(duì)x討論，當(dāng)x＜-1時(shí)，當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，分別求出f（x）的范圍，進(jìn)而得到f（x）的最小值，再由絕對(duì)值的意義可得|y-1|的最小值，即可得到答案．

解答： 解：令f（x）=|x-1|+|x|+|x+1|，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=1-x-x-x-1=-3x，則f（x）＞3；
當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=1-x-x+x+1=2-x，則2≤f（x）≤3；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=1-x+x+x+1=x+2，則2＜f（x）≤3；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=x-1+x+x+1=3x，則f（x）＞3．
綜上可得f（x）的值域?yàn)閇2，+∞），x=0時(shí)取得最小值2，
又|y-1|≥0，y=1取等號(hào)．
則當(dāng)x=0，y=1時(shí)，|x-1|+|x|+|y-1|+|x+1|取得最小值2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)的最值求法，考查分類討論的思想方法，注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．