Question

17．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}=（x，y），\overrightarrow{AC}$=（u，v），試用x，y，u，v表示△ABC的面積．

Answer 1

分析 根據(jù)向量夾角的余弦公式可求出cosA，進(jìn)而求出sinA，這樣根據(jù)三角形面積公式便可得出△ABC的面積．

解答 解：$cosA=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{xu+yv}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}}$；
∴$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{（xu+yv）^{2}}{（{x}^{2}+{y}^{2}）（{u}^{2}+{v}^{2}）}}$=$\frac{|xv-yu|}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sinA$=$\frac{1}{2}•\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}•\frac{|xv-yu|}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}}$=$\frac{1}{2}|xv-yu|$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，向量夾角的余弦公式，以及三角形面積公式．