Question

7．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，AA₁=1，線段AC₁的三個視圖所在的直線所成的最小角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 線段AC₁的三個視圖所在的直線分別為AC，DC₁，AD₁，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段AC₁的三個視圖所在的直線所成的最小角的余弦值．

解答 解：如圖，線段AC₁的三個視圖所在的直線分別為AC，DC₁，AD₁，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），D（0，0，0），C₁（0，2，1），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，1），
設直線AC與DC₁所成角為α，AC與AD₁所成角為β，DC₁與AD₁所成角為γ，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{D{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
cosβ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
cosγ=$\frac{|\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{D{C}_{1}}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$．
∴線段AC₁的三個視圖所在的直線所成的最小角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查長方體中線段的三個視圖所在的直線所成的最小角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．