Question

19．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=6，AB=3，AD=8，點M是棱AD的中點，點N在棱AA₁上，且滿足AN=2NA₁，P是側(cè)面四邊形ADD₁A₁內(nèi)一動點（含邊界），若C₁P∥平面CMN，則線段C₁P長度的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\sqrt{17}，5}]$
• B． [4，5]
• C． [3，5]
• D． $[{3，\sqrt{17}}]$

Answer 1

分析 取A₁D₁中點E，在DD₁上取點F，使D₁F=2DF，連結(jié)EF、C₁E、C₁F，則平面CMN∥平面C₁EF，由此推導出P∈線段EF，當P與EF的中點O重合時，線段C₁P長度取最小值PO，當P與點E或點F重合時，線段C₁P長度取最大值PE或PF，由此能求出線段C₁P長度的取值范圍．

解答 解：取A₁D₁中點E，在DD₁上取點F，使D₁F=2DF，連結(jié)EF、C₁E、C₁F，
則平面CMN∥平面C₁EF，
∵是側(cè)面四邊形ADD₁A₁內(nèi)一動點（含邊界），C₁P∥平面CMN，
∴P∈線段EF，
∴當P與EF的中點O重合時，線段C₁P長度取最小值PO，
當P與點E或點F重合時，線段C₁P長度取最大值PE或PF，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=6，AB=3，AD=8，
點M是棱AD的中點，點N在棱AA₁上，且滿足AN=2NA₁，
∴C₁P_max=C₁E=C₁F=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，EF=4$\sqrt{2}$，
C₁P_min=PO=$\sqrt{{C}_{1}{E}^{2}-E{O}^{2}}$=$\sqrt{25-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{17}$．
∴線段C₁P長度的取值范圍是[$\sqrt{17}$，5]．
故選：A．

點評 本題考查線段長取值范圍的求法，突出對運算能力、化歸轉(zhuǎn)化能力、空間想象的考查，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．