Question

6．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，AC=AA₁=2$\sqrt{2}$，E為A₁C上一點，且A₁C=4EC，F(xiàn)為AC的中點．
（1）證明：A₁C⊥平面BEF；
（2）若平面A₁BC⊥平面A₁B₁BA，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連結BF，由AA₁⊥平面ABC得AA₁⊥BF，通過計算CF，CE可發(fā)現(xiàn)$\frac{CF}{{A}_{1}C}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故△CEF∽△CAA₁，故∠CEF=∠CAA₁=90°，故A₁C⊥EF，于是A₁C⊥平面BEF；
（2）由面面垂直的性質可得BC⊥平面A₁B₁BA，于是AB⊥BC，求出底面積即可求出棱柱的體積．

解答 （1）證明連結BF，
∵AA₁⊥平面ABC，BF?平面ABC，
∴AA₁⊥BF，
∵AB=BC，F(xiàn)是AC的中點，
∴AC⊥BF，
又AC?平面A₁CA，A₁A?平面A₁CA，AC∩AA₁=A，
∴BF⊥平面A₁CA，∵A₁C?平面A₁CA，
∴BF⊥A₁C．
∵AC=A₁A=2$\sqrt{2}$，AC⊥A₁A，F(xiàn)是AC的中點，A₁C=4EC，
∴A₁C=4，CF=$\sqrt{2}$，CE=1．
∴$\frac{CF}{{A}_{1}C}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴△CEF∽△CAA₁，
∴A₁C⊥EF，又EF?平面BEF，BF?平面BEF，EF∩BF=F，
∴A₁C⊥平面BEF．
（2）∵平面A₁BC⊥平面A₁B₁BA，平面ABC⊥平面A₁B₁BA，平面ABC∩平面A₁BC=BC，
∴BC⊥平面A₁B₁BA，∵AB?平面A₁B₁BA，
∴BC⊥AB．又∵AC=2$\sqrt{2}$，AB=BC，
∴AB=BC=2．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質與判定，棱柱的體積計算，屬于中檔題．