Question

【題目】如圖1，梯形中，，，，，為中點.將沿翻折到的位置， 使如圖2.

（1）求證：平面 平面；

（2）求與平面所成角的正弦值；

（3）設(shè)、分別為和的中點，試比較三棱錐和三棱錐（圖中未畫出）的體積大小，并說明理由.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)先證明平面，再證明平面 平面.(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求得與平面所成角的正弦值為.(3) 先證明點、到平面的距離相等，即三棱錐和同底等高，所以體積相等.

（1）證明：由圖1，梯形中，，，，，為中點，

故圖2，，

因為，，平面，所以平面

因為平面，所以平面 平面

（2）取中點，連接，.

因為在中，，為中點，所以

因為平面 平面，平面 平面

平面，所以平面

因為在正方形中，、分別為、的中點，

所以

建系如圖. 則，，，，.

，，，

設(shè)平面的法向量為，則

，即，令得，，

所以是平面的一個方向量.

所以與平面所成角的正弦值為.

（3）三棱錐和三棱錐的體積相等.

理由如下:由，，知，則

因為平面，所以平面.

故點、到平面的距離相等，有三棱錐和同底等高，所以體積相等.