Question

7．解下列三角方程：
（1）2sin²x+$\sqrt{3}$cosx+1=0．
（2）3sin²x+8sinxcosx-3cos²x=0．

Answer 1

分析 （1）由條件可得2cos²x-$\sqrt{3}$cosx-3=0，求得cosx的值，可得x的值．
（2）由題意可得5sin（2x-θ）=0，θ=arcsin$\frac{3}{5}$，故有2x-θ=kπ，k∈Z，由此求得x的值．

解答 解：（1）∵2sin²x+$\sqrt{3}$cosx+1=0，∴3-2cos²x+$\sqrt{3}$cosx=0，即2cos²x-$\sqrt{3}$cosx-3=0 
∴cosx=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{27}}{4}$，或cosx=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{27}}{4}$（舍去），∴x=2kπ±arccos$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{27}}{4}$，k∈Z．
故原方程的解集為{x|x=2kπ±arccos$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{27}}{4}$，k∈Z}．
（2）∵3sin²x+8sinxcosx-3cos²x=0，∴-3cos2x+4sin2x=0，即5（sin2x$•\frac{4}{5}$-$\frac{3}{5}$cos2x）=0，
∴5sin（2x-θ）=0，其中，cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$\frac{3}{5}$，θ為銳角，θ=arcsin$\frac{3}{5}$，
∴2x-θ=kπ，k∈Z，∴x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{1}{2}$•arcsin$\frac{3}{5}$，k∈Z．
故原方程的解集為{x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{1}{2}$•arcsin$\frac{3}{5}$，k∈Z }．

點評 本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的零點，屬于中檔題．