Question

16．（1）已知z₁，z₂∈C，若|z₁|=5，z₂=3+4i，z₁•$\overline{z_2}$是純虛數(shù)，求z₁
（2）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2+i，4+3i，3+5i，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z₁=a+bi（a，b∈R），可得z₁•$\overline{z_2}$=（3a+4b）+（3b-4a）是純虛數(shù)，于是$\left\{\begin{array}{l}{3a+4b=0}\\{3b-4a≠0}\\{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=5}\end{array}\right.$，解出a，b即可得出．
（2）設(shè)A（2，1），B（4，3），C（3，5），D（x，y），利用$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)z₁=a+bi（a，b∈R），∴z₁•$\overline{z_2}$=（a+bi）（3-4i）=（3a+4b）+（3b-4a）是純虛數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+4b=0}\\{3b-4a≠0}\\{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴z₁=4-3i，或-4+3i．
（2）設(shè)A（2，1），B（4，3），C（3，5），D（x，y），
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，∴（2，2）=（3-x，5-y），∴$\left\{\begin{array}{l}{3-x=2}\\{5-y=2}\end{array}\right.$，解得x=1，y=3．
∴點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+3i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．