Question

已知函數(shù)f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，下列命題：其中所有正確的命題的序號是（　　）
①函數(shù)f（x）的零點為1；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；
③函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)；
④函數(shù)f（x）的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

• A、①②
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①令f（x）=0，由指數(shù)函數(shù)的值域即可判斷；②先求定義域，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可判斷；
③討論x＞0，x＜0，運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；④討論x＞0，x＜0函數(shù)的取值范圍，再求并集，即可判斷．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

即f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，
①令f（x）=0，則由于e^x，e^-x＞0，故無零點．故①錯；
②e^2x≠1，即x≠0，f（-x）=

e-x+ex

e-x-ex

=-f（x），故②正確；
③當x＞0時，f（x）遞減，當x＜0時，f（x）遞減，故③錯；
④當x＞0時，e^2x＞1，f（x）＞1；當x＜0時，0＜e^2x＜1，f（x）＜-1，故④正確．
故選C．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和值域，以及零點問題，注意定義的運用，指數(shù)函數(shù)的值域的運用，屬于中檔題．